فهرست اتحادهای لگاریتمی

قوانین جبری

] کاربرد عملگرهای ساده‌ساز

گاهی از لگاریتم برای ساده کردن شمارش‌های ریاضی استفاده می‌شود. مانند لگاریتم حاصل ضرب که برابر است با کجموع لگاریتم دو عدد:

$\log_b(xy) = \log_b(x) + \log_b(y) \!\,$	زیرا:	$b^c \cdot b^d = b^{c + d} \!\,$
$\log_b\!\left(\begin{matrix}\frac{x}{y}\end{matrix}\right) = \log_b(x) - \log_b(y)$	زیرا:	$b^{c-d} = \tfrac{b^c}{b^d}$
$\log_b(x^d) = d \log_b(x) \!\,$	زیرا:	$(b^c)^d = b^{cd} \!\,$
$\log_b\!\left(\!\sqrt[y]{x}\right) = \begin{matrix}\frac{\log_b(x)}{y}\end{matrix}$	زیرا:	$\sqrt[y]{x} = x^{1/y}$
$x^{\log_b(y)} = y^{\log_b(x)} \!\,$	زیرا:	$x^{\log_b(y)} = b^{\log_b(x) \log_b(y)} = b^{\log_b(y) \log_b(x)} = y^{\log_b(x)} \!\,$
$c\log_b(x)+d\log_b(y) = \log_b(x^c y^d) \!\,$	زیرا:	$\log_b(x^c y^d) = \log_b(x^c) + \log_b(y^d) \!\,$

که در آن $b$ و $x$ و $y$ اعداد حقیقی بزرگتر از صفر اند و $b \ne 1$ است. همچنین $c$ و $d$ همگی اعداد حقیقی اند.

اثبات قانون نخست

$xy = b^{\log_b(x)} b^{\log_b(y)} = b^{\log_b(x) + \log_b(y)} \Rightarrow \log_b(xy) = \log_b(b^{\log_b(x) + \log_b(y)}) = \log_b(x) + \log_b(y)$

قانون مربوط به توان‌ها:

$x^y = (b^{\log_b(x)})^y = b^{y \log_b(x)} \Rightarrow \log_b(x^y) = y \log_b(x)$

قانون نسبت‌ها:

$\log_b \bigg(\frac{x}{y}\bigg) = \log_b(x y^{-1}) = \log_b(x) + \log_b(y^{-1}) = \log_b(x) - \log_b(y)$

قانون ریشه‌ها مانند قانون توان‌ها اثبات می‌شود:

$\log_b(\sqrt[y]x) = \log_b(x^{\frac{1}{y}}) = \frac{1}{y}\log_b(x)$

[اتحادهای بدیهی

$\log_b(1) = 0 \!\,$	زیرا:	$b^0 = 1\!\,$
$\log_b(b) = 1 \!\,$	زیرا:	$b^1 = b\!\,$

هشدار: $\log_b(0) \!\,$ تعریف نشده‌است چون هیچ عدد $x \!\,$ را نمی‌توان پیدا کرد که $b^x = 0 \!\,$ شود. به عبارت دیگر در نمودار $\log_b(x) \!\,$ در نقطهٔ ۰ = x یک مجانب قائم داریم.

[ویرایش] توان‌های خنثی کننده

تابع‌های لگاریتمی و نمایی در صورتی که هر دو در یک پایه باشند می‌توانند یکدیگر را خنثی کنند. این به این دلیل است که دو تابع وارون یکدیگرند. (درست مانند ضرب و تقسیم یا جمع و تفریق که عملگرهای وارون اند.)

$b^{\log_b(x)} = x\text{ because }\operatorname{antilog}_b(\log_b(x)) = x \,$

$\log_b(b^x) = x\text{ because }\log_b(\operatorname{antilog}_b(x)) = x \,$

تغییر پایه

بسیاری از ماشین خساب‌ها تنها می‌توانند لگاریتم طبیعی و اعشاری را حساب کنند برای همین اگر بخواهیم لگاریتم در دیگر پایه‌ها را بدست آوریم باید از اتحاد زیر استفاده کنیم:

$\log_b a = {\log_d a \over \log_d b}$

فرض کنید که $c=\log_b a$ آنگاه $b^c=a$ حال از دو سوی تساوی در پایهٔ d لگاریتم می‌گیریم:

$\log_d b^c=\log_d a$

پس از ساده‌سازی خواهیم داشت: $c\log_d b=\log_d a$

آنگاه $c=\frac{\log_d a}{\log_d b}$

از آنجایی که $c=\log_b a$ خواهیم داشت: $\log_b a=\frac{\log_d a}{\log_d b}$

[ویرایش] نتایج

نتایح بدست آمده از اتحاد بالا عبارتند از:

$\log_b a = \frac {1} {\log_a b}$

$\log_{b^n} a = {{\log_b a} \over n}$

$b^{\log_a d} = d^{\log_a b}$

$- \log_b a = \log_b \left({1 \over a}\right) = \log_{1 \over b} a$

$\log_{b_1}a_1 \,\cdots\, \log_{b_n}a_n = \log_{b_{\pi(1)}}a_1\, \cdots\, \log_{b_{\pi(n)}}a_n, \,$

که در آن $\scriptstyle\pi\,$ جایگشت زیرنویس 1 تا n است مانند:

$\log_b w\cdot \log_a x\cdot \log_d c\cdot \log_d z = \log_d w\cdot \log_b x\cdot \log_a c\cdot \log_d z. \,$

[ویرایش] جمع و تفریق

جمع و تفریق در لگاریتم‌ها در نظریه‌های احتمالاتی کاربرد دارند:

$\log_b (a+c) = \log_b a + \log_b (1+b^{\log_b c - \log_b a})$

$\log_b (a-c) = \log_b a + \log_b (1-b^{\log_b c - \log_b a})$

که در حالت ویژه می‌دهد:

$\log_b (a+c) = \log_b a + \log_b \left(1+\frac{c}{a}\right)$

$\log_b (a-c) = \log_b a + \log_b \left(1-\frac{c}{a}\right)$

فهرست اتحادهای مثلثاتی

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد

پرش به: ناوبری, جستجو

این مقاله نیازمند ویکی‌سازی است. لطفاً با توجه به راهنمای ویرایش و شیوه‌نامه، محتوای آن را بهبود بخشید.

سینوس‌ها و کسینوس‌های حول دایره مثلثاتی

روابط مهم مثلثاتی که در حل مسائل بسیار موثر خواهند بود :

$\cos^{2} A + \sin^{2} A = 1 \,$

$\ cos (a+b)=cos a\times\ cos b - sin a\times\ sin b \,$

$\ cos (a-b)=cos a \times\cos b + sin a \times\sin b \,$

$\ sin (a+b)=sin a \times\cos b + cos a \times\sin b \,$

$\ sin (a-b)=sin a \times\cos b - cos a \times\sin b \,$

$'tan(45+a)=1+tana/1-tana'$

$\tan(a+b) = \frac{tan a + tan b}{1-tan a\times\tan b}\ \,$

$\tan(a-b) = \frac{tan a - tan b}{1+tan a\times\tan b}\ \,$

$\cos 2a=cos^2 a -sin^2 a=2cos^2 a -1= 1 - 2sin^2 a \,$

$\sin 2a=2sin a\times\cos a \,$

$\cos^2 a=\frac{1}{2}\ (1+cos 2a) \,$

$\sin^2 a=\frac{1}{2}\ (1-cos 2a) \,$

$\ cos a \times\cos b =\frac{1}{2}(cos (a+b)+ cos (a-b))$

$\ sin a \times\sin b =\frac{1}{2}(cos (a-b)- cos (a+b))$

$\ sin a \times\cos b =\frac{1}{2}(sin (a+b)+ sin (a-b))$

$\ cos a +cos b=2 cos\frac{ a+b }{ 2 }\times\cos\frac{ a-b }{2}\ \,$

$\ cos a -cos b=-2 sin\frac{ a+b }{ 2 }\times\sin\frac{ a-b }{2}\ \,$

$\ sin a +sin b=2 sin\frac{ a+b }{ 2 }\times\cos\frac{ a-b }{2}\ \,$

$\ sin a -sin b=2 cos\frac{ a+b }{ 2 }\times\sin\frac{ a-b }{2}\ \,$

چنانچه $t = \tan \frac{A}{2}$ , : آنگاه

$\sin\ A = {{2\,t} \over {1+t^{2}}}$

$\cos\ A = {{1-t^{2}} \over {1+t^{2}}}$

$\tan\ A = {{2\,t}\over {1-t^{2}}}$

فرمول کاشانی که در هر مثلثی صدق می‌کند

$a^2 = b^2 + c^2 - 2\,b\,c \cdot cos\ A$

[ویرایش] منبع

ارسال در تاريخ دو شنبه 25 ارديبهشت 1391برچسب:,

توسط علی هدایتی

صفحه قبل 1 صفحه بعد

:: تشکر

:: عدد

:: توان

:: به وبلاگ خود خوش امدید

:: ارديبهشت 1391

:: ردیاب خودرو

تبادل لینک هوشمند
برای تبادل لینک ابتدا ما را با عنوان ریاضیات 1 و آدرس reiazi103.LXB.ir لینک نمایید سپس مشخصات لینک خود را در زیر نوشته . در صورت وجود لینک ما در سایت شما لینکتان به طور خودکار در سایت ما قرار میگیرد.

::فال حافظ
::قالب های نازترین
::جوک و اس ام اس
::زیباترین سایت ایرانی
::جدید ترین سایت عکس
::نازترین عکسهای ایرانی
::بهترین سرویس وبلاگ دهی
::وبلاگ دهی LoxBlog.Com


	نام :
	وب :
	پیام :
	2+2=:


(Refresh)

خبرنامه وب سایت:

آمار وب سایت:

بازدید امروز : 7
بازدید دیروز : 10
بازدید هفته : 17
بازدید ماه : 17
بازدید کل : 46142
تعداد مطالب : 15
تعداد نظرات : 0
تعداد آنلاین : 1